درس المثلث

مثلث

1 أنواع المثلثات

2 حقائق عن المثلثات

2.1 تشابه مثلثين

2.2 نظرية فيثاغورس

2.3 مساحة المثلث

3 أنواع المثلثاتِ


أنواع المثلثات

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لاطوال اضلاعها كما يلي:


مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث أضلاعه متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الاضلاع متساوية أيضا، وقيمتها 60 درجة.

مثلث متساوي الضلعين: هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا.

مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة. زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

.
متساوي الاضلاع متساوي الساقين مختلف الاضلاع

كما يمكن تصنيف المثلثات تبعا لقياس أكبر زاوية في المثلث:


مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.

مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة واصغر من 180 درجة(زاوية منفرجه)

مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة)



حقائق في المثلث:

[ تشابه مثلثين

يقال عن مثلثين انهما متشابهين اذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما
متساوية، اي عندما ينتج احدهما عن الاخر بتكبيره أو تصغيره. ان اطوال
اضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، اي انه اذا كان طول أقصر اضلاع المثلث
الأول هو ضعفا طول أقصر اضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين
الأطول و المتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول و المتوسط
من المثلث الثاني أيضا، و بالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر و
الأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر و الأطول
في المثلث الثاني.وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه
بالرمز (~) يتشابه مثلثان اذا تطابقتزواياهما المتناظرة ___ اذا تطابقت
زاويتان في مثلث مع زاويتان في مثلث اخر كان المثلثان متشابهين.
[ نظرية فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس و التي تنص على انه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي إلى مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ)، اي:
د َ2 = ب َ2 + ج َ2
مما يعني ان معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كاف لمعرفة طول الضلع الثالث:
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل اي مثلث عبر قانون التجيب:
د َ2 = ب 2 + ج َ2 - 2 ب َ ج َ تجب د
و هو صحيح من اجل كل المثلثات حتى و لو لم تكن د قائمة.
سؤال:هل تبقى النظرية صحيحة في حالة ان تكون الاشكال المقامة مضلعات
منتظمة أخرى مثل مضلع ثلاثي:أو خماسي أو سداسي،...الخ ماهو تعريف علم
المثلثات
مساحة المثلث:

تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي:
سط = ق × ع / 2
or:area=1\2*H*B

حيث ان ق هي طول إحدى اضلاع المثلث (القاعدة)، و ع هو طول العمود النازل على هذا الضلع من الرأس المقابل له (الارتفاع).
من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

يحول المثلث اولا لمتوازي اضلاع
مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.


مثلث أحد الأشكالِ الأساسيةِ في هندسة: شكل ثنائي الأبعاد بثلاثة قِمَم وثلاثة جوانبِ بشكل خطوط مستقيمة . عرف المثلثات
[عدل] أنواع المثلثاتِ

المثلثات يُمْكِنُ أَنْ تُصنّفَ طبقاً للأطوالِ النسبيةِ مِنْ جوانبِها:

في مثلث متساوي الأضلاع كُلّ الجوانب ذات طولِ متساو. مثلث متساوي الأضلاع أيضاً متساوي الزوايا ، أي أن كل زاوية هي 60 درجة؛ * في مثلث متطابق الضلعين جانبان متساويان في الطول. مثلث متساوي الساقين لَهُ زاويتان داخليتانُ متساويتانُ أيضاً.

في مثلث مختلف الأضلاع كُلّ الجوانب لَها أطوالُ مختلفةُ. إنّ الزوايا الداخليةَ في مثلث مختلف الزوايا هي مختلفة أيضا.


المثلثات يُمْكِنُ أيضاً أَنْ تُصنّفَ طبقاً لحجمِ زاويتِهم الداخليةِ الأكبرِ، وَصفَ تحت استعمال درجة مِنْ القوسِ.


أي مثلث قائم (أَو مثلث قائم الزاوية ) عِنْدَهُ 90 واحد °؛ الزاوية الداخلية (a زاوية قائمة). الجانب قبالة الزاوية القائمة وتر زاوية قائمة ؛ هو الجانبُ الأطولُ في المثلث القائمِ. إنّ الجانبانَ الآخرَ سيقان المثلثِ.

مثلث منفرج عِنْدَهُ زاويةُ داخليةُ واحدة أكبرُ مِنْ 90 °؛ ( زاوية منفرجة).

مثلث حادّ عِنْدَهُ زوايا داخليةُ التي جميعاً أصغر مِنْ 90 °؛ (ثلاثة زاوية حادة ).